DES SURFACES. 247 
pour l'expression des coordonnées de ce point en fonction des 
paramètres caractéristiques des lignes de courbure. 
4'» Les équations (12)' et (13)' sont les équations générales des 
plans des lignes de courbure de chacun des systèmes. 
5° Pour ce cas spécial, les valeurs des dérivées partielles et de 
ds^ sont les suivantes : 
(15)' 
(16)' 
dœ _ u[V'(u^' + ^^ + 1) — 2 {Vu + ^'v — U — Y)] 
dû ~ (1*2 + V- + 1)2 
dy V- -\- i — u"^ dx dz _ dx 
du 2w du' du du ' 
dx _ v\y"{u'' + 1?^ + 1) — 2 {Vu 4- \'v — U — V)] 
dv "" (w2 + ^^ + 1)' 
dy _ dx dz _u^ -\-\ — v' dx 
dv~ dv ' dv ^ 2o dv ' 
(17)' ds-" = Hdu- -\- g'dv'' , 
(18)' 
\^- 
_ U '(u2 + i?2 -I- 1) — 2{Vu + Y' y — U — V) 
I _ V"(m2 4- t^2 4. i) _ 2(U'^ + T'y — U — V) 
14. Remarques. — Les équations de ce paragraphe ont été 
obtenues avec un système d'axe dépendant de l'image sphérique 
(no 5). 
Il est visible que ces axes rectangulaires sont simplement assu- 
jettis à celte condition que les droite^ Oz et Oy soient parallèles 
aux génératrices des cylindres enveloppés par les plans des lignes 
de courbure; car, s'il en est ainsi, on pourra évidemment placer 
la sphère sur laquelle on fait l'image de la surface dans la posi- 
tion indiquée (5). 
Nous ferons encore observer que tout point de la surface et 
son image sphérique correspondent aux mêmes valeurs de u et 
de V. 
15. Généralisation de la méthode. — La méthode que nous 
