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venons d'exposer peut être appliquée à la recherche plus géné- 
rale des surfaces dont les lignes de courbure ont pour image sphé- 
rique un réseau orthogonal quelconque, à condition cependant 
que l'on sache exprimer les coordonnées d'un point de la sphère 
en fonction des paramètres caractéristiques d'un pareil réseau. 
Effectivement, si cette condition est remplie, on pourra écrire 
l'équation du plan tangent à la sphère sous la forme 
A, B, C, D étant des fonctions connnues de u et v. 
Le plan tangent au point correspondant de la surface cherchée 
sera parallèle au précédent; il aura donc pour équation 
Aœ + By+Cz — F{u, v) ; 
où F désigne une fonction inconnue des variables indépendantes 
ueiv. 
On exprimera, comme au n» 11, que lorsque le point m décrit, 
sur la sphère, une ligne (u) ou une ligne (v), le déplacement du 
point correspondant M lui est parallèle dans chaque cas, ce qui 
est, comme on sait (n» 2), la condition nécessaire et suffisante 
pour que le réseau sphérique donné soit l'image sphérique de la 
surface. On aura ainsi, suivant les cas, une ou deux équations 
aux dérivées partielles pour déterminer la fonction F, et le pro- 
blème sera ramené à intégrer cette équation ou ce système 
d'équations. 
16. Génération tangentielle des surfaces étudiées. — Dans 
le cas des surfaces à lignes de courbure planes, la forme de la 
fonction F, qui est F = U + V> conduit à une construction tan- 
gentielle, particulièrement simple, que j'ai donnée dans le travail 
auquel j'ai déjà fait allusion (voir l'Introduction), et que je me 
propose actuellement de déduire des équations (11) et (11)'. 
Considérons d'abord deux plans parallèles P et P' et une origine 
arbitraire O. Si l'on joint le point à deux points M et M' pris, 
à volonté, sur chacun des plans donnés, et que l'on fasse ensuite 
la somme géométrique ON des segments OM et OM', le lieu du 
point N est un plan Q, parallèle aux deux premiers, que nous 
nommerons plan résultant des plans donnés. 
