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De même, la distance du plan tangent à la sphère au second 
plan P', estimée parallèlement à Oz, c'est-à-dire à H, est 
^, _ V 4- 2 cos h cos V 
~ sin h sin v ' 
Elle dépend seulement de v et reste, par suite, invariable quand 
le point m décrit un cercle (v), c'est-à-dire un cercle du système 
de la droite H'. 
D'ailleurs U et V étant des fonctions arbitraires de u et v, il 
en est de même de c et o', ce qui prouve réciproquement qu'étant 
donné deux fonctions arbitraires de u et v respectivement, elles 
fourniront des plans P et P' parallèles au plan tangent à la 
sphère, et dont le plan résultant enveloppera une surface à 
lignes de courbure planes. Ce raisonnement étant évidemment 
applicable au cas spécial, on peut énoncer le théorème suivant, 
qui donne le mode de génération que je voulais établir : 
Soit tracé su?^ une sphère un réseau quelconque de cercles 
orthogonaux, et soient H et H' les droites par lesquelles pas- 
sent respectivement les plans de cercles de chaque système. 
Transportons le plan tangent en un point quelconque de la 
sphère, d'abord parallèlement à H et ensuite parallèlement 
à H' , de longueurs variant suivant deux lois continues quel- 
conques, telles cependant que les translations parallèles à 
l'une des droites H ou H' demeurent constantes quand le 
point de la sphère décrit un cercle dont le plan passé par 
l'autre. 
La surface envelojjpe du plan résultant des deux positions 
d'un m,éme plan tangent à la sphère sera la surface la plus 
générale dont toutes les lignes de courbure sont planes en 
ayant pour image sphérique le réseau donné. 
17. Vérification d'un théorème de Joachimstal. — J. Serret 
{l. c.) et Lemounier (Thèses 18G8) ont pris pour point de départ 
de leurs recherches un théorème de Joachimstal dont voici 
l'énoncé : 
Lorsqu'une ligne de courbure est plane, son plan coupe la 
surface sous un angle constant en tous les points de la ligne 
considérée et , réciproquement , lorsqu'un plan coupe une 
