DES SURFACES. 251 
surface, sous un angle constant, en tous les points de la sec- 
tion, celle-ci est une ligne de courhure de la surface proposée. 
Ces pj-opositions résultent géométriqueraent de la propriété 
caractéristique, signalée au n© 2, concernant le parallélisme des 
éléments correspoHdants d'une ligne de courbure et de son image 
sphérique. 
Dans le cas actuel, les équations (11), (12), (13), donnent pour 
les angles 0„, Or, que forment, avec le plan tangent au point 
(w, v), les plans des lignes de courbure (m) et (y) qui se coupent 
en ce point, 
sin /m 
cos Ou =z 
cos Or =: 
/cos- hu — cos2 ft 
sin v cos Â 
\l\ — cos2 V cos2 h 
On voit que le premier angle dépend seulement de u et reste, par 
suite, constant pour tous les points d'une ligne (m). De même, lé 
second angle est constant pour tous les points d'une ligne {v). Le 
théorème de Joachimstal est donc vérifié pour les surfaces dont 
nous nous occupons. 
Dans le cas spécial, les conclusions sont les mêmes, mais les 
valeurs des angles 0„ Or se simplifient, et l'on a 
tgo. = i, tgo, = l. 
§ 3. ~ Centres et rayons de courbure pynncipaux des surfaces 
dont toutes les lignes de courbure sont planes. 
18. — Les centres de courbure principaux d'une surface eu un 
point M sont, comme on sait, les points d'intersection de la nor- 
male au point M avec les normales aux points infiniment voisins 
pris sur chacune des lignes de courbure qui se coupent en 
M. Dans le problème actuel, où les équations des lignes de cour- 
bure sont u — constante et v — constante, nous désignerons par 
0„ le centre principal de courbure relatif à lu ligne (u), c'est-à-dire 
le point d'intersection de la normale en M avec la normale au 
