DES SURFACES. 253 
de M, étant positive quand elle a la même direction que Om, et 
négative pour une direction contraire. De ces équations on tire 
co^huco^k — cosr 
z ^ X 4- : , 
i ■ cos hu — cos k cos v 
I sin k sin hu 
t — ^ -\- ^ 
cos hu — cos k cos v ' 
sin k sin t* 
cos hu — cos k cos v ' 
Sous cette forme, on obtient les coordonnées d'un point quel- 
conque de la normale en fonction de la distance ç. 
Ceci posé, déterminons le point G« , tel que MG„ = ;« soit le 
rayon de courbure principal relatif à la ligne (u). Ce point, qui 
est situé sur la normale en M et sur la normale au point infini- 
ment voisin de la ligne (u), doit, par suite, correspondre à une 
valeur de ;, telle que lorsque v varie de dv, u restant fixe, ce 
point demeure invariable. On exprimera donc que les dérivées 
partielles, prises par rapport à v, des coordonnées l, r,, Z, sont 
nulles quand on y remplace q par la quantité fixe ç«. Une seule 
des coordonnées suffit, la première par exemple. On a donc 
dx cos hu sin v sin- k 
dv '" (cos hu — cos k cos v)^ 
Cette équation fournit immédiatement la valeur de ;, quand on 
y remplace — par sa valeur (16). Il vient ainsi 
1 
:«=^T-— [(U'sin/îw— Ucos^îm)— (V+V'0cosAu+(V''cosi7+V'sinî7)cosft] 
pour la valeur du rayon de courbure considéré. On obtient les 
valeurs de r„, r,u, C«> en remplaçant ç par ;« dans les formules qui 
donnent r , r,, Z. Nous écrirons bientôt ces valeurs, mais, pour le 
moment, nous observerons que l'on doit trouver la même valeur 
de zu , quelle que soit celle des équations de la normale que l'on 
difi(èrentie. C'est à quoi l'on parvient aisément à l'aide des for- 
