256 MÉMOIRES. 
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^ [2([j'u + V'v — U — V) — V"(m2 + Î52 — 1)] , 
(19)' ; r,u = l{V'-uY"), 
c:„=z^(V'-î;V"); 
(20)' zu — j I2{\]'u + Y'v — U — V) — Y'Xu^ + v^+ 1)] . 
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1 
j e. = - [2(U'î^ + V'-y — U — V) — U"(w2 -f v^ — 1)] , 
r 
21)' 1 V = 2(U'-t<U"), 
C. = ^ (V - W") ; 
(22)' ç. =1 7 [2(U'w + Vu — U — V) — U"(t*2 + î;2 _^ 1)] . 
Les deux nappes de la développée sont représentées par les 
équations (19)' et (21)'. 
22. Théorème de M. 0. Bonnet. — Les différents groupes de 
formules obtenues dans les deux numéros précédents permettent 
d'établir simplement un théorème de M. 0. Bonnet dont voici 
l'énoncé : 
Lorsque toutes les lignes de courbure d'une surface sont 
planes, le lieu des centres de l'une des courbures, en tous les 
points d'une ligne de l'autre courbure est une courbe plane, 
dont le plan passe par la droite suivant laquelle le plan de la 
ligne de courbure considérée touche le cylindre enveloppe 
des plans des lignes de courbure de son système, et est per- 
pendiculaire aux génératrices du cylindre envelopjie des 
plans des lignes de courbure de l'autre système. 
Prenons, par exemple, la troisième des formules (19) , savoir : 
Çu — T^ (V cos V — V" sin v) . 
sm A ' 
