DES SURFACES. 2o/ 
En tous les points d'une ligne de courbure («), Zu reste constant. 
Ceci prouve que le lieu des centres de courbure G« le long d'une 
ligne {v) est une courbe plane contenue dans un plan R perpen- 
diculaire à l'axe des z, c'est-à-dire à la droite H à lacpielle sont 
parallèles les génératrices du cylindre enveloppe des plans des 
lignes (u). 
D'autre part , le plan de cette ligne (v) a pour équation (23), 
X sm V -{- z sin h cos v =: V . 
Son arête de contact avec le cylindre enveloppe des plans des 
lignes (v) est définie par cette équation jointe à l'équation dé- 
rivée par rapport à v , qui est 
X cos V — z sin /j sin îj = V" . 
On en déduit que cette arête de contact est parallèle à l'axe 
des y, ou à la droite H', ce qui doit être, et que le z de cette 
droite est 
V cos V — V" sin V 
z — ^ — , 
sin h 
ce qui est précisément la valeur de X^v II en résulte que le plan R , 
qui contient le lieu des centres de courbure Gu , passe par l'arête 
de contact dont nous venons de parler. 
La seconde des formules (21) permettrait de vérifier pareille- 
ment le théorème de M. O. Bonnet pour le lieu des centres de 
courbure G^, en tous les points d'une ligne {u). 
Enfin, les équations (19)' et (21)' montrent que le théorème est 
encore vrai pour le cas spécial auquel elles se rapportent. 
23. Ombilics des surfaces dont toutes les lignes de cour- 
hure sont planes. — La recherche de ces ombilics ne présente 
aucune difficulté. Ces points sont déterminés par les systèmes de 
valeurs de u et de v pour lesquels on a 
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