258 MÉMOIRES. 
Si l'on considère d'abord le cas général, on a l'éqaation 
(cos hu — cos h cos v) [U" — U) — (V + V")] = o , 
laquelle se décompose en deux, savoir ; 
1° cos hu — cos 11 cos V —0 , 
20 U" — U = V + V" . 
La première équation ne fournit que des solutions imaginaires, 
car si w et i? ont des valeurs réelles , cos hu est au moins égal 
à l'unité, tandis que cos v est compris entre — 1 et + 1 . Malgré 
cela, l'interprétation géométrique de cette équation est intéres- 
sante. 
Considérons le lieu des points de la sphère pour lesquels la pre- 
mière équation est vérifiée. L'équation (4) du plan tangent à la 
sphère montre que pour ces points le plan tangent passe par le 
centre. Sur la sphère, le lieu est donc le cercle imaginaire de 
l'infini. Sur la surface, le lieu de ces ombilics sera le lieu des 
points de contact des plans tangents à la surface et au cercle de 
l'infini. 11 en résulte que la ligne des ombilics répondant à la 
})remière solution est la ligne de contact de la surface avec la 
développable isotrope qui lui est circonscrite. 
La seconde équation établit une relation entre w et i; et cor- 
respond, par suite, à une courbe tracée sur la surface. 
Dans le cas spécial, l'équation ç,, =r:çr, donne les deux sui- 
vantes : 
10 ^2 _j_ ^2 _|_ 1 — ^ 
20 ■ U" = V" . 
A la première équation correspond une ligne imaginaire d'om- 
bilics, qui est encore la courbe de contact de la surface avec la 
développable isotrope qui lui est circonscrite, 
A la seconde équation correspond une seconde ligne d'ombi- 
lics, que nous allons définir géométriquement. 
Remarquons, à cet effet, que le plan d'une ligne (w), par exem- 
ple, a pour équation (12)' 
2ux -1- 2.V — W . 
