DES SURFACES. 259 
Ce plan touche le cylindre enveloppe suivant une droite déter- 
minée par cette équation jointe à la suivante : 
Ainsi, la valeur que prend en tous les points d'une ligne {u), la 
dérivée U" est égale au double de la distance, au plan des yz, de 
la génératrice de contact du plan de cette ligne avec le cylindre 
enveloppe des plans des lignes {u). 
La signification de V est analogue. 
Dès lors, la courbe de la surface dont l'équation est U" =: V , 
est le lieu des points M , tels que les plans des lignes de courbure 
qui s'y coupent touchent les cylindres enveloppes des plans de 
ces lignes, suivant des génératrices équidistantes du plan des yz. 
Ces génératrices se coupent en des points qui appartiennent à la 
ligne d'intersection des deux cylindres. Réciproquement, si l'on 
prend un point de l'intersection des deux cylindres, les généra- 
trices passant en ce point seront parallèles au plan des yz, équi- 
distantes de ce plan, et, dès lors, les plans tangents aux cylindres 
suivant ces génératrices seront les plans de lignes de courbure 
pour lesquels on aura U" =: V . Donc : 
Les surfaces ayant pour image sphérique un réseau de 
cercles orthogonaux tangents entre eux par famille, ont, en 
outre de la courbe de contact avec la décaloppable isotrope 
qui leur est circonscrite, une ligne d'ombilics qui cori^es- 
pond à l'intersection des cylindres enveloppes des plans des 
lignes de courbure, de telle façon qu'à chaque point de l'in- 
tersection des deux cylindres correspondent des ombilics 
situés à l'intersection des lignes de courbure dont les plans 
sont tangents à chacun des cylindres, au point d'intersec- 
tion considéré. 
§ 4. — Cas particuliers des sur face "^ enveloppes de sphèy^es 
et des surfaces moulures . 
24. Définition des surfaces enveloppes de sphères. — Les 
premières surfaces à lignes de courbure planes que l'on ait étu- 
