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diées sont les enveloppes de sphères assujetties à trois condi- 
tions, c'est-à-dire, dont l'équation générais contient un seul para- 
mètre arbitraire. 
Les lignes de courbure du premier système des surfaces de 
cette espèce sont les caractéristiques, c'est-à-dire les cercles de 
contact de chacune des sphères avec l'enveloppe. 
Réciproquement, lorsque les lignes de courbure d'une surface 
sont circulaires, dans un système, la surface est une enveloppe 
de sphères. {Traité de calcul différentiel, de M. J. Bertrand, 
p. 720.) Les surfaces enveloppes des sphères sont ainsi caractéri- 
sées par cette propriété que les lignes de courbure sont des cer- 
cles pour un système. 
Dans ce qui va suivre , il sera question uniquement des surfa- 
ces enveloppes de sphères dont les lignes de courbure du second 
système sont également planes. 
M. Paul Serret, dans sa Théorie nouvelle des lignes à dou- 
ble courbure, a démontré (p. 263) la proposition suivante : 
1° Lorsqu'une surface enveloppe de sphères possède deux 
lignes de seconde courbure planes, toutes les lignes de seconde 
courbure sont planes et leurs plans passent par une même 
droite; 
2° Réciproquement, lorsque toutes les lignes de courbure 
d'une surface sont planes et que les plans des lignes d'un 
système passent par une droite fixe, les ligyies de courbure 
de l'autre système sont circulaires et la surface est une en- 
veloppe de sphères. 
Je me propose de déduire cette propriété des équations relati - 
ves aux développées des surfaces à l'étude et de particulariser, 
dans ce cas, les fonctions U et V. 
25. Formées des fonctions U ow V relatives aux enveloppes 
de sphères. — Remarquons d'abord que la condition nécessaire 
et suffisante pour qu'une ligne de courbure soit circulaire est 
que le centre de courbure qui lui correspond soit le même pour 
tous les points de cette ligne. Cette conclusion résulte immédia- 
tement du théorème de Joachimstal (n» 17). (Voir aussi M. Ber- 
trand, l. c.) 
Dès lors, si l'on veut que sui- une surface dont toutes les lignes 
