DES SURFACES. 261 
de courbures sont planes, les lignes (u), par exemple, soient cir- 
culaires, il faudra exprimer que les coordonnées çu, r,u, Zu du 
centre de courbure G« doivent rester invariables quand u con- 
serve une valeur fixe arbitraire, et, par suite, que ces quantités 
sont indépendantes de v, quelle que soit la valeur de u. On trouve 
ainsi les conditions déduites des formules (19) : 
V sin V 4- V" cos v z= a , 
V cos V — V" sin vzn a' , 
V + V" = a" ; 
a, a' et a" étant des constantes. 
U s'agit maintenant d'examiner s'il est possible de trouver une 
fonction V dont les dérivées V et V" vérifient ces identités. Or, 
des deux premières, on tire 
V = a sin 17 -f a' cos v , 
V" = a cos w — a' sin v ; 
et, en substituant dans la troisième, il vient 
V = a" — a cos v ■}- a' sinv . 
Ces équations sont compatibles, puisqu'en prenant les dérivées 
de V on tombe sur les valeurs écrites pour V et V". 
Donc, pour avoir les équations générales des surfaces à lignes 
de courbure planes et dont les lignes (u) soient des cercles, il faut 
remplacer la fonction V par la valeur précédente. 
Ce résultat va nous conduire à l'interprétation que nous avons 
en vue. 
L'équation générale des plans des lignes (v) est (13) 
œ sin V -{- z sin k cos v -zY' . 
Si l'on met à la place de V la valeur trouvée ci-dessus, l'équation 
précédente devient 
{œ — a) sin v -{- {z sin h — a') cos y = o . 
