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La réciproque est vraie. Pour cela, il suffit de démontrer 
qu'étant donné une courbe arbitraire dans le plan des xy, on 
peut déterminer la fonction U de w, de manière que les équations 
de cette courbe reproduisent les valeurs de \u et r^u écrites 
ci-dessus. Or, si l'équation de cette courbe, lieu des centres des 
spbères, est 
f{x, y) — o, 
on aura, pour déterminer U , l'équation différentielle obtenue en 
remplaçant x eiy par les valeurs de ;« et /,« , de sorte que l'in- 
tégration de cette équation fournira U. 
Dans le cas où les lignes {v) sont circulaires, on arrive aux 
mêmes conclusions ; seulement la courbe lieu des centres des 
sphères est dans le plan des zx. Il y a encore proportionnalité 
entre les rayons des sphères et les distances de leurs centres à 
l'axe des z . Quant au coefficient de proportionnalité qui est 
1 
, dans le premier cas, il est égal à cos h dans le second. 
cos Â 
Cela résulte de l'égalité 
ç„ = ^v cos u , 
qui a lieu pour U =; o. 
Lorsque l'image sphérique est constituée par le réseau spécial, 
on retrouve encore les mêmes propriétés. Dans ce cas, le coeffi- 
cient de proportionnalité est égal à l'unité. 
En résumé, on peut donc énoncer la proposition suivante don- 
née, en partie, par M. Paul Serret (l. c). 
Toute surface enveloi)pe de sphè)-es dont les lignes de se- 
conde courbure sont planes est l'enveloppe d'une sphère dont 
le centre parcourt une ligne plane de forme arhitraire^ et 
dont le rayon est proportionnel à la distance de son centre à 
une droite fixe située dans le plan de la courbe. Alors : 
1" Les lignes de seconde courbure sont les sections de la 
surface par les plans contenant cette droite. 
2" L'image sphérique de la surface est constituée par un 
réseau de cercles orthogonaux, tel que les cercles de ce réseau 
qui correspondent aux cercles de courbure de la surface 
