DES SURFACES. 267 
passent par celle des droites H on IV dont la dislance au 
centre et le rayon de la sphère présentent un rapport égal 
au coefficient de proportionnalité donné. 
Lorsque ce coefficient de proportionnalité est égal à. l'unité, 
l'image sphérique de la surface est formée de cercles ortho- 
gonaux tangents entre eux par fam,ille. 
30. Cas des surfaces-mmilures- — C'est Monge qui a défini, 
le premier, les surfaces-moulures générales, en les considérant 
comme les surfaces dont les normales touchent une développable 
donnée. 
Monge a démontré {Application de V analyse à la géométrie) 
que les surfaces de cette sorte sont engendrées par une courbe 
plane de forme arbitraire dont le plan roule, sans glisser, sur la 
développable proposée en entraînant cette courbe. Les différentes 
positions de la génératrice sont les lignes de première courbure 
de la surface, que leurs plans coupent orthogonalement, et les 
lignes de seconde courbure sont les trajectoires des différents 
points de la courbe mobile. 
Réciproquement, lorsque les lignes de courbure d'une surface 
sont planes, pour un système, et que leurs plans coupent norma- 
lement cette surface, celle-ci rentre dans le cas précédemment 
examiné. (Voir le Traité de calcul différentiel^ de M. J. Ber- 
trand, pp. 724 etsuiv.). 
Nous rappellerons encore au sujet de ces surfaces de Monge 
que l'illustre auteur a XaH connaître un second mode de généra- 
tion, qui justifie la dénomination de surfaces-moulures qu'on 
leur a donnée, et d'après lequel toute surface de cette sorte est 
le lieu des positions successives d'un profit arbitraire, mais cons- 
tant , poussé normalement sur une développable quelconque, de 
façon que deux points du profil décrivent deux lignes de courbure 
de la développable donnée. 
31. — Il s'agit actuellement de définir celles de ces surfaces- 
moulures dont toutes les lignes de courbure sont planes. 
Pour qu'il en soit ainsi, il est nécessaire et suflîsant que l'image 
sphérique soit constituée par des grands cercles ayant un dia- 
mètre commun, et par les petits cercles dont les plans sont per- 
pendiculaires à ce diamètre. 
