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Il est aisé, au moyen de quelques exemples, de montrer que 
les propriétés d'un système dépendent en effet des trois caracté- 
ristiques. 
Soit un système de surfaces ( [j, , v , p) , on a : 
Théorème I. — Le lieu des lignes de contact des cônes tan- 
gents de sommet donné est une surface d'ordre ;j. + v qui a 
un point multiple d'ordre ;x au sommet commun des cônes. 
Il suffît de prouver qu'il y a sur une droite quelconque \j. + v 
points du lieu. Prenons une droite passant par le point donné ; il 
y a sur cette droite v points qui proviennent des v surfaces tan- 
gentes à la droite ; le point donné est aussi un point du lieu et il 
est multiple d'ordre p., puisque [x surfaces passent par ce point. 
On peut donner au théorème précédent une autre forme; il 
peut s'énoncer ainsi : 
Le lieu géométrique des points de l'espace, tels que les 
plans tangents aux surfaces m,enées par ces points jjasseni 
par un pioint fixe, est une surface d'ordre \l -\- v qui a un 
point multiple d'ordre \). coïncidant avec le point fixe. 
Remarque. — La démonstration précédente ne suppose pas 
que les surfaces du système sont algébriques. Il est donc vrai 
pour toutes les surfaces qui font partie d'un système, que ces 
surfaces soient algébriques ou transcendantes. 
Supposons que les surfaces soient algébriques et du second 
degré, par exemple, qu'elles passent par huit points. Nous ver- 
rons plus loin que les caractéristiques d'un pareil système sont 
1, 2, 3. Supposons, de plus, que le point fixe s'éloigne à l'infini 
sur une direction donnée, on aura le corollaire suivant : 
Corollaire. — Le lieu des sections faites dans le système 
de surfaces du deuxièm,e degré passant par huit points par 
des plans diamétraux cotijugués à une direction donnée est 
une surface du troisième degré. 
Ou bien, sous une autre forme : 
Le lieu des points tels que les plans tangents aux surfaces 
du système (1 , 2 , 3) qui passent par ces points, ces plans 
