MÉMOIRE SUR LES SYSTÈMES DE SURFACES. 327 
étant parallèles à une droite donnée, est une surface du 
troisième degré. 
Théorème II. — Le lieu des points de contact des plans 
tangents menés par une droite donnée D à toutes les surfaces 
d'un système {])., v, p) est une courbe gauche d'ordre (v + p) 
rencontrant la ligne D «n v points. 
Il est aisé de voir que si l'on mène par la ligne D un plan 
quelconque, il y aura dans ce plan p points du lieu provenant 
des p surfaces tangentes à ce plan et v points sur la droite D, en 
tout V + f points. 
Ce théorème est encore vrai si les surfaces du système sont 
transcendantes, puisque ni l'ordre ni la classe des surfaces n'in- 
terviennent dans la démonstration. 
On peut énoncer d'une façon différente le théorème précédent : 
Le lieu des points de l'espace tels que les plans tangents 
aux surfaces du système menées par ces points passent par 
une droite fixe est une courbe gauche d'ordre v + ?• 
Supposons que l'on considère le système de surfaces du second 
ordre tangentes à huit plans, on verra plus loin que les caracté- 
ristiques sont 3, 2, 1. Supposons de plus que la droite D s'éloigne 
à l'infini dans un plan donné, on aura le corollaire suivant : 
Corollaire. — Le lieu des points de contact de toutes les 
surfaces du système (3, 2, 1) et du second degré, avec des 
pla?is parallèles à un plan fixe, est une courbe gauche du 
troisième degré. 
Théorème III. — Dans un système de surfaces du deuxième 
ordre, le lieu des pôles d'un plan fixe relativement aux sur- 
faces du sy s terne est une courbe à double courbure d'ordre p. 
Il y a, en effet, dans un plan quelconque p points du lieu qui 
proviennent des p surfaces tangentes à ce plan. 
Corollaire. — Le lieu des centres d'un système de quadri- 
ques est une courbe gauche d'ordre p. 
Il suffit de supposer que le plan donné s'éloigne à l'infini. 
