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Théorème IV (corrélatif de III). — L'enveloppe des plans 
polaires d'un point fixe t^elatiuement aux surfaces du sys- 
tème est une développable de classe [j. . 
En effet, par un point donné, il passe seulement \). plans tan- 
gents de la développable, ce sont les plans tangents aux jx sur- 
faces du système passant par ce point. 
Si le point donné s'éloigne à l'infini sur une direction donnée, 
les plans polaires de ce point deviennent des plans diamétraux 
conjugués à cette direction et on a : 
Corollaire. — Dans un système de quadriques, V enveloppe 
des plans diamétraux conjugués à une direction donnée est 
une surface développable de classe \). . 
Théorème V. — Le lieu des pôles relat%vem,ent aux surfaces 
d'un système de quadriques de tous les plans qui passent par 
une ligne droite donnée est une surface de degré v. 
Il y a, en effet, v points et seulement v points du lieu sur la 
droite donnée; ce sont les points de contact avec cette droite des 
surfaces du système. 
Si la droite s'éloigne à l'infini dans un plan, les plans devien- 
nent parallèles à un plan donné, et on a : 
Corollaire. — Le lieu des sommets des cônes circonscrits 
aux surfaces d'un système suivant des plans parallèles à un 
plan donné est une surface de degré v. 
On reconnaît sans peine les nombreuses applications que l'on 
peut faire des- théorèmes précédents aux systèmes de surfaces 
quadriques en prenant des systèmes dont on connaît les carac- 
téristiques. 
Nous allons chercher maintenant le nombre des surfaces d'un 
système ([j,, v, p) qui touchent une surface donnée d'ordre m, 
de classe n et de rang r (ordre du cône circonscrit dont le som- 
met est donné). 
Pour arriver à la démonstration de ce théorème, nous nous 
appuyeroûs sur un lemme dû à M. Zeuthen, de Copenhague. 
