MÉMOIRE SUR LES SYSTÈMES DE SURFACES. 329 
Lemme I. — Si Von a dans un plan deux systèmes de points 
correspondants x et x\ tels qu'à un point x correspondent 
% points x' et à un point x' x points x et tels aussi qice le 
nombre des points homologues x et x' qui se trouvent sur 
une droite donnée soit égal à 3 , autrement tels que le lieu 
des points x ou x' dont les homologues se trouvent sur une 
droite donnée est égal à p: , 
le nombre des points x coin- ^ 
cidant avec leui's homolo- 
gues x' est égal à a + a' + p . 
1° Le nombre des droites 
xfx qui passent par un point 
donné O est égal à x' -\- p. 
En effet, soit L une droite 
quelconque et un point x pris 
sur cette droite, menons Ox; 
à ce point x correspondent x' 
points x' et x' droites Ox' qui coupent L en x points w. 
Autant de points u coïncidant avec x, autant de droites œfx 
passant par O. 
Or, à un point x correspondent % points u. 
Prenons maintenant un point u quelconque sur L et menons 
Ow; d'après l'énoncé, le lieu des points x tels que les points 
homologues x' sont situés sur Om est une courbe d'ordre ^ qui 
coupera L en jâ points a?; donc 
à un point u correspondent ^ points x ; 
donc a' + H coïncidences. 
2» Le nombre des droites xx^ qui passent par un point fixe O 
est égal à a + ^ . 
Il suffit, pour le démontrer, de prendre le point x' arbitrai- 
rement sur L et de continuer comme précédemment. 
3" Le nombre des points x ei af qui coïncident est égal 
x + x' + '^. 
Soit X un point quelconque de la première série et kx la 
