MÉMOIRE SUR LES SYSTÈMES DE SURFACES. 331 
nombre des points d'un plan qui ont la même polaire harmonique 
relativement à deux courbes planes données d'ordre m et m'. 
Soient S et S' ces deux courbes. Prenons un point ^ et sa 
polaire harmonique relativement à S, on sait que c'est une ligne 
droite. Pour avoir les pôles de cette droite, considérée comme 
polaire harmonique relativement à S', il suffit de considérer les 
premières polaires de deux de ces points; ce sont des courbes 
d'ordre m' — 1 qui se coupent en (m' — 1)' points. Donc 
à un point x coy^espondent im' — 1)- points oc'. 
On verra de la même façon que 
à un point x' correspondent (m — 1)^ points x. 
' Pour appliquer le lemme I, il nous faut connaître encore le 
lieu des points x tels que les homologues xf se trouvent sur une 
droite donnée ou le nombre des couples de points homologues 
qui se trouvent sur une droite donnée. 
Prenons une droite quelconque L et cherchons combien il y a 
sur cette droite de couples de points x et x' correspondants. 
Cherchons l'enveloppe des axes harmoniques dont les pôles se 
trouvent sur la droite L ; la première polaire d'un point A rela- 
tivement à S est une courbe d'ordre m — 1 ; elle coupe L en 
m — 1 points tels que leurs axes harmoniques passent par A ; 
donc la courbe enveloppe est de classe m — 1 , de même la 
courbe enveloppe des axes harmoniques dont les pôles se trou- 
vent sur L relativement à S' est une courbe de classe m' — 1 . 
Le nombre des tangentes communes, c'est-à-dire (m — l)(m' — 1), 
représente le nombre des couples xx' qui se trouvent sur L. 
C'est le nombre S du lemme précédent. 
Donc il existe (m — 1 )2 + (m' — l)^ -f (m — 1) (m' — 1) points 
ayant même axe harmonique relativement à S et à S'. 
Supposons que S et S' soient deux coniques, m =: 2 m' = 2 , 
le nombre cherché est 3. 
Théorème. — Le nombre des surfaces 2 dun système (;j., v, p) 
