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tangentes 'a une surface donnée S d'ordre m , de classe n et 
de rang r {ordre du cône tangent de sommet donné) est égal 
à mp + n\). + rv . 
Prenons un plan quelconque et dans ce plan une droite œ ; par 
cette droite ce passent n plans tangents à la surface donnée S en 
n points par chacun desquels passent [x surfaces S , dont les 
plans tangents coupent le plan en n droites x'. En général, à 
une coïncidence de œ et de œ' correspondra une surface S tan- 
gente à S. 
On voit d'abord que 
à une droite x correspondent n]}. droites œ' . 
Prenons maintenant une droite x' ; le lieu des points de con- 
tact des plans menés par x' aux surfaces S est une courbe gauche 
d'ordre v + p qui rencontre S en m(v + p) points ; en chacun 
de ces points menons le plan tangent à S , il rencontre le plan 
suivant une droite x. 
A une droite œ' correspondent m(v + p) droites x. 
Enfin, prenons un point quelconque dans le plan; le lieu 
des points de contact des cônes ayant ce point pour sommet et 
tangents à S est une courbe d'ordre r; le lieu des points de 
contact des cônes de sommet et tangents aux surfaces ïl est 
une surface d'ordre \). + v qui rencontre en r(|j. + v) points la 
courbe précédente. En chacun de ces points de contact menons 
le plan tangent à S et à H, ces deux plans rencontrent le plan 
donné suivant un couple de droites homologues x et x' passant 
par O. Il y a donc r{\i. -\- v) couples de droites pareilles. 
Donc, d'après le lemme II , il y aura : 
n[j. + m(v + p) + r(iji, -r v) coïncidences. 
Toutes ces coïncidences ne correspondent pas à des surfaces S 
tangentes à S. 
En effet, le plan donné coupe la surface S suivant une courbe 
d'ordre m et de classe r et le système i] suivant un système de 
courbes (|j,, v). On sait, d'après un théorème connu, que le 
