MÉMOIRE SUR LES SYSTÈMES DE SURFACES. 333 
nombre des courbes du système tangentes à la courbe (m, r) est 
égal à mv -|- ijr. A chacun de ces contacts correspond une 
coïncidence de œ et de œ' , et cependant la surface Z n'est pas 
tangente à S. Donc il faut retrancher ce nombre du précédent 
pour savoir combien il y a de surfaces Z tangentes à S ; on aura : 
mp 4- n,j. -\- rv . 
Ce théorème a été démontré pour les systèmes de surfaces 
algébriques par M. de Jonquières, ainsi que les précédents. 
(Comptes rendus, t. LVIII et LXI.) Cette démonstration est due 
à M. Brill (Matematische annalen, t. VIII, 1875). 
On remarquera que le théorème est encore vrai, lorsque dans 
le système de surfaces ^ il existe des surfaces transcendantes , 
puisque ni l'ordre ni la classe de ces surfaces n'interviennent 
dans la démonstration. 
Remarqiœ. — Il résulte de ce qui précède que le nombre des 
surfaces d'un système (;jl, v, p) qui satisfont à une condition 
donnée est exprimé par une fonction linéaire et homogène des 
caractéristiques ja, v et p de la forme a;jL + h'' + Y? ; ^^ 3? T 
étant des nombres entiers qui ne dépendent pas des surfaces du 
système. Dans tout ce qui suit, nous supposerons que le nombre 
des surfaces d'un système qui satisfont à une condition donnée z 
s'exprime par un trinôme analogue au précédent. 
SYSTÈMES DE COURBES DANS L'ESPACE. 
Nous appellerons système de courbes dans l'espace l'ensemble 
des courbes qui satisfont à toutes les conditions nécessaires à 
leur détermination moins une. Ainsi, pour déterminer une coni- 
que dans l'espace il faut huit conditions. Toutes les coniques 
qui satisfont à sept conditions forment un système. Nous allons 
chercher le nombre des courbes d'un système qui sont tangentes 
à une surface donnée d'ordre m , de classe n et de rang r. 
Les propriétés d'un système de courbes dépendent de deux 
nombres qu'on appelle les caractéristiques du système ; ce sont 
