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le nombre des courbes qui rencontrent une droite donnée et qui 
touchent un plan donné; soient [j. et p ces deux nombres. 
Lemme 1. — Le lieu des courbes du système (;j., p) est une 
surface d'ordre [j.. 
C'est évident, puisqu'il y a \j. points du lieu sur une droite 
donnée. 
Lejime \\. — Le lieu des points de contact des plans tan- 
gents menés aux courbes du systèm,e par une droite donnée 
L est une courbe gauche d'ordre ij. + p . 
Il y a, en effet, dans un plan quelconque mené par L [jl points 
du lieu sur la droite L; ce sont les points où les [x courbes ren- 
contrent L et ensuite les p points où les courbes du système tou- 
chent le plan. 
Lemme III. — Si Von a dans un plan deux courbes, l'une 
de degré a et Vautre de classe [3 , telles quà un point de l'une 
corresxjonde une tangente de Vautre et réciproquement, il y 
aura a + (î points de la prem,ière courbe qui seront situés 
sur leur droite correspondante. 
Prenons un point x sur la première courbe S , soit t la tangente 
correspondante de la deuxième courbe S' ; cette droite t coupe S 
en a points œ', de sorte que 
à un point x correspondent a points x' . 
Il y aura évidemment autant de solutions que de coïncidences 
de points x %\ x' . 
Prenons maintenant' sur S un point x' \ de ce point on peut 
mener ^ tangentes à S', à chacune desquelles correspond un 
point X. Donc 
à un point x' correspondent jî points x. 
On a donc sur la courbe S une correspondance (a, 3) et d'après 
un théorème connu le nombre des coïncidences sera égal à a -f 3' 
On voit que dans ce cas les points singuliers de la courbe S n'ont 
aucune influence sur le nombre des coïncidences. (Brill, Maie- 
matische annalen, t VII.) 
Théorème. — Le nombre des courbes gauches d'un système 
