MÉMOIRE SUR LES SYSTÈMES DE SURFACES. 335 
{;j., s) qui touchent une surface F d'ordre m, de classe n et de 
rang r est égal à mp + r[x . 
On suppose que la surface F est dépourvue de singularités. 
La surface d'ordre ;.>. lieu des courbes du système rencontre F 
suivant une courbe C d'ordre m^. Si , par chacun des points de 
C, on mène, d'une part, les tangentes aux courbes du système 
qui passent par ces points, elles engendrent une surface gauche ; 
et, d'autre part, les plans tangents à F, ils engendrent une sur- 
face développable. Ces deux, surfaces tracent sur un plan donné 
P une première courbe lieu des points où les génératrices de la 
surface gauche percent ce plan, et une deuxième courbe enve- 
loppe des droites d'intersection avec P des plans tangents à la 
développable. Ces deux courbes seront telles qu'aux points de 
l'une correspondent des tangentes de l'autre et réciproquement. 
Le nombre des points de la première qui se trouveront sur les tan- 
gentes correspondantes de la deuxième sera égal au nombre des 
tangentes des courbes du système qui se trouvent dans les plans 
tangents de la développable ou dans les plans tangents de F, 
c'est-à-dire le nombre des courbes du système tangentes à F. Il 
ne reste donc plus qu'à trouver l'ordre de la première courbe, la 
classe de la deuxième et à appliquer le lemme IIL 
Si l'on considère une droite quelconque L , le lieu des points 
de contact des plans tangents aux courbes du système menés par 
L est une courbe gauche d'ordre a -)- p (lemme II) qui rencontre 
F en m(;jL + p) points, en chacun desquels la tangente à la 
courbe du système vient s'appuyer sur L. Donc la surface gauche 
est d'ordre in{\j.-\- p). D'autre part, si d'un point donné on 
mène le cône tangent à F, la courbe de contact est d'ordre r; elle 
rencontre la surface jjl en rfx points et les plans tangents menés 
à F par un point donné et qui touchent F en des points où elle 
est rencontrée par des courbes du système sont au nombre de rji. 
Donc la classe de la développable est r[x. Il résulte de là que si 
l'on coupe les deux surfaces par un plan, on obtient une courbe 
d'ordre in{i). -f- p) et une courbe de classe r[x. 
D'après le lemme III il y aura m(ii. + p) + r^ points de la 
première courbe qui se trouveront sur les tangentes correspon- 
dantes de l'autre. 
