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Mais il faut remarquer qu'il y a m^ coïncidences qui ne don- 
nent pas de solutions ; ce sont celles qui résultent des m|x points 
où la courbe d'intersection des deux surfaces F et \}. perce le 
plan . Donc le nombre cherché est égal à mp + r[x. 
Ce théorème est dû à M. de Jonquières ; la démonstration pré- 
cédente est due à M. Brill. {Mat. annalen, l. VIII.) 
DÉTERMINATION DES CARACTÉRISTIQUES DES SYSTEMES 
ÉLÉMENTAIRES. 
Puisque les propriétés des surfaces d'un système dépendent 
des caractéristiques, il importe de donner les moyens de les dé- 
terminer. De même que pour les courbes, on a commencé par 
chercher les caractéristiques des systèmes élémentaires dans 
lesquels les conditions sont représentées par des points, des 
droites ou des plans tangents. Ces caractéristiques une fois 
déterminées, on introduit successivement dans les systèmes 
élémentaires des conditions quelconques Z par une méthode de 
substitution pareille àcelleappliquée pour les systèmes de courbes. 
Appliquons ces principes à la détermination des caractéristi- 
ques des systèmes de surfaces du deuxième ordre ou quadriques. 
Cette étude a été faite pour la première fois par Chasles, qui a 
publié ses résultats sans démonstration dans les Comptes rendus, 
(tome LVIII, p. 567, et tome LXII, p. 405). Quelque temps après, 
M. Zeuthen a publié, dans les Mémoires de V Académie de 
Copenhague, une étude sur le même sujet, sous le titre suivant : 
Bestemmelse af charakteristikerne i de elementaere syste- 
mer af Flader af anden Orden. 
Il y a dans chaque système de quadriques des surfaces excep- 
tionnelles , et les caractéristiques dépendent de ces surfaces. 
Ainsi, dans un système défini par huit conditions, il y a un nom- 
bre déterminé de cônes ou de surfaces infiniment aplaties, au- 
trement dit de coniques ; cônes et coniques sont en effet déter- 
minées par huit conditions. Ainsi, prenons le système (Sjî?) de 
quadriques passant par huit points donnés, il y a quatre cônes 
dans ce système et point de coniques. Dans le système de qua- 
driques assujetties à toucher huit plans, il y a quatre surfaces 
