MÉMOIRE SUR LES SYSTEMES DE SURFACES. 337 
aplaties ou quatre coniques et point de cône. Ces cônes et ces 
coniques se correspondent en vertu du principe de dualité. Les 
cônes peuvent d'ailleurs se réduire dans certains cas à un système 
de deux plans et même à un plan unique. Les coniques dans 
l'espace peuvent dégénérer en quasi-coniques (coniques formées 
par l'ensemble de deux droites) et même en une droite unique. 
Soient ^x, v, p les trois caractéristiques d'un système, x le nom- 
bre des surfaces aplaties ou des coniques planes, o le nombre des 
cônes, 'Il le nombre des systèmes de deux plans qui font partie 
du système proposé, x ®* ? s'échangent l'un dans l'autre par le 
principe de dualité ; <!^ surface formée de deux plans (2^ ordre) se 
change en 'V surface formée de deux points (2« classe). 
Si l'on considère une section plane des sj'stèmes, on aura un 
système de coniques dont les caractéristiques sont jjl et v. Il y 
aura, en effet, autant de coniques du sjstème passant par un 
point et touchant une droite L du plan qu'il y a de quadriques 
passant par ce point et touchant cette même droite. Or, dans ce 
système de coniques, il y a 2;jl — v coniques aplaties et 2v — |a 
quasi-coniques. Les premières correspondent aux surfaces qua- 
driques aplaties ou coniques de l'espace qui font partie du sys- 
tème : elles sont au nombre de / ; les deuxièmes correspondent 
aux surfaces composées de deux plans •!/, et aussi aux surfaces 
quadriques tangentes au plan qui sont au nombre de p ; on a 
donc : 
(1) 2,x - V = X , 
(2) 2v-:a.zr.; + ?. 
Les cônes de sommet donné S circonscrits aux surfaces du 
système forment eux-mêmes un système dont les caractéristiques 
sont V et p , c'est-à-dire qu'il y a v cônes passant par un point et 
p cônes tangents à un plan passant par S. En effet, par S menons 
une droite et un plan, il y aura autant de cônes passant par un 
point de la droite précédente que de surfaces tangentes à cette 
droite et autant de cônes tangents au plan que de surfaces tan- 
gentes à ce même plan. Or, dans ce système de cônes, il y en a 
2p — V formés par deux plans ; mais lorsque les cônes circonscrits 
de sommet S se réduisent à deux plans, les surfaces du système 
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