MÉMOIRE SUR LES SYSTÈMES DE SURFACES. 343 
nés, ce plan rencontre en un point O l'intersection de deux des 
trois plans donnés P, P', P' , soit P, P', par exemple ; ce point O 
est un sommet. Par O et les deux points restants faisons passer 
un plan qui coupe le premier suivant une droite OL, l'intersection 
0' de P" avec OL sera le deuxième sommet. Or, en prenant de 
toutes les manières possibles trois points et les deux restants, on 
obtient dix combinaisons, et en associant successivement deux 
des plans P, P', P" à chacune de ces combinaisons, on obtient 
10 X 3 ou 30 systèmes de deux plans. Donc 
2v — ;x — p = 30^ ; 
d'où 
a?-|-60^r=68, œ — S, Z — \, 
et 
p=r21 . 
Système (4/?, 4P) = (21, 42, 21). 
La première caractéristique [x est connue, elle est égale à 21 ; 
la troisième est égale aussi à 21 , car si l'on transforme par le 
principe de dualité, on a encore le système (4P, ip) et on sait 
que les deux caractéristiques [x et p s'échangent. 
Comme évidemment y/z^o , on a v =: 2{i. rr 42 . Il n'y a pas 
de cônes dans ce système, car il n'y a pas de coniques dans le 
système (4P, 4j3), qui est le même que le précédent. Donc ç ^ o. 
11 y a, comme dans l'exemple précédent, des systèmes de deux 
plans avec deux sommets sur l'intersection. Soient, en effet, P, 
P', P", P'" les quatre plans donnés. Par trois des quatre points 
faisons passer un plan qui rencontre en l'intersection P, P', et 
en 0' l'intersection P", P'". Le quatrième point donné détermine 
avec et O' le deuxième plan qui coupe le premier suivant la 
droite 00' sur laquelle et 0' sont deux sommets. Oh voit qu'il 
y a douze systèmes pareils. 
Il y a encore d'autres systèmes de deux plans. Par deux des 
points donnés menons un plan qui rencontre (P, P') en et 
(P", P'") en O,; par O, et les deux derniers points donnés menons 
un deuxième plan qui rencontre (P, P') en 0'. Si et 0' venaient 
