MÉMOIRE SUR LES SYSTÈMES DE SURFACES. 345 
Les exemples précédents montrent suffisamment la marche à 
suivre pour déterminer les caractéristiques des systèmes élémen- 
taires. 
SYSTÈME DE SURFACES d'ORDRE TYl QUI PASSENT PAR LA LIGNE 
d'intersection de DEUX SURFACES DE MÊME ORDRE. 
On sait que le nombre des surfaces du système qui passent par 
un point donné est égal à l'unité ; donc [jl = 1 . Soit L une droite 
quelconque, prenons un point x sur cette droite, par ce point 
passe une surface du système qui coupe L en m — 1 points af ; 
donc 
à un point x correspondent m — 1 points x' . 
On verrait de même que 
à un point x' correspondent m — 1 points x ; 
donc 2 (m — 1) coïncidences. 
Donc, dans le cas général des surfaces d'ordre m , on aura : 
v:r 2(m— 1). 
Pour trouver la troisième caractéristique p, nous remarque- 
rons qu'en chaque point de contact d'une surface du système 
avec un plan P, la courbe d'intersection a un point double, que 
le plan P coupe toutes les surfaces du système suivant un système 
de courbes planes dont la première caractéristique est l'unité et 
que par conséquent le nombre cherché n'est pas autre chose que 
le nombre des courbes à point double du système pUm. Prenons 
dans ce plan trois points quelconques a, b, c; les premières 
polaires de ces points forment trois faisceaux de courbes d'ordre 
m — 1 . Si une des courbes du système d'ordre m a. un point 
double, les trois polaires des points a, b, c, relativement à cette 
courbe, se croiseront en ce point double. Donc il y aura autant 
de courbes à point double qu'il existera de points communs aux 
courbes des trois faisceaux de premières polaires des points a, 
b, c. Nous sommes donc ramenés en dernière analyse à chercher 
