346 MÉMOIRES. 
le nombre des points communs aux courbes de trois faisceaux 
d'ordres Ui, n^, n^; ces courbes se correspondant homographi- 
quement. Le lieu des points d'intersection des deux premières 
est une courbe d'ordre ni + n2 qui passe par les ni^ + n^^ 
points, bases des deux faisceaux. Le lieu des points communs au 
premier et au troisième faisceau est une courbe d'ordre Ui + n^ 
qui passe par les Ui"^ -\- n^^ points, bases de ces faisceaux. Cette 
courbe rencontre la précédente en (^^, + n.^ (nj + n^ points, et 
si l'on retranche les nî^ points communs qui servent de base au 
premier faisceau et qui ne sont pas communs à des courbes des 
trois faisceaux, il reste {ui + n-x) (n, + ^3) — '^i^ r:z Wj nj + n^n^ 
+ n^ n^ points communs aux courbes des trois faisceaux. 
Supposons ni ^ ^2 ^ ^3 = m — 1 , on trouve : 
p = 3(m — 1)2. 
Ainsi les caractéristiques du système de surfaces sont : 
1, 2(m — 1), 3(m — 1)2. 
On suppose dans la démonstration précédente que l'on s'occupe 
des surfaces les plus générales d'ordre m. 
REPRÉSENTATION ANALYTIQUE D'UN SYSTEME DE SURFACES 
PAR UNE ÉQUATION DIFFERENTIELLE. 
On a vu dans l'étude des systèmes de courbes comment on pou- 
vait représenter de pareils systèmes par une équation différen- 
tielle du premier ordre. Il est aisé de voir de môme qu'un système 
de surfaces dont la caractéristique (x =z 1 peut être représenté 
par une équation différentielle totale de la forme : 
(1) ^dx + Ydy + MZ — 0. 
En effet, un pareil système peut être représenté par une équa- 
tion de la forme ^{x, y, ^) rr a, et en différentianl on trouve une 
équation analogue à l'équation (1). Réciproquement, toute équa- 
tion de la forme précédente, dans laquelle X, Y, Z sont des fonc- 
tions données de Xy y, z satisfaisant auxconditions d'intégrabilité, 
