MÉMOIRE SUR LES SYSTÈMES DE SURFACES. 347 
pourra représenter un système de surfaces. Si l'on introduit les 
coordonnées homogènes, on substituera à l'équation (1) une 
équation de la forme : 
(2) Xdx 4 Ydy + Zdz + Vdu — o . 
Nous allons montrer par un exemple comment on peut, en 
partant d'une équation différentielle telle que (2), trouver, sans 
l'intégrer, les caractéristiques du système de surfaces qu'elle 
représente. 
On voit sans peine que la première caractéristique ji est égale 
à un. 
Soit (3) u z= Ax -\- By + Cz l'équation d'un plan quelconque 
qui coupe les surfaces suivant un système de courbes; la deuxième 
caractéristique de ce système de courbes sera égale à la deuxième 
caractéristique du système de surfaces. Il suffit de chercher com- 
bien dans ce plan il existe de courbes du système tangentes à 
une droite donnée. On a, en diflérentiant (3) : 
(4) du = Adx 4- Bdy + Cdz . 
Éliminant u et du entre (2), (3) et (4), il vient : 
(5) (X + \V)dx -f (Y -I- B\:)dy + (Z + C\j) dz = o . 
Faisons z ^i \ , dz = o , on a l'équation différentielle en x 
et y d'un système de courbes. Le nombre des solutions communes 
à l'équation (5) et aux équations -- :rzp , y — p.r ^z x , où 
p et a sont donnés, fournira la deuxième caractéristique du sys- 
tème V. 
Pour trouver la troisième, considérons un plan 
AXi + Byt + C^, -\-Du^—o, 
et cherchons combien il existe de surfaces tangentes à ce plan. 
Le plan tangent à une surface du système en un point x, y, z, 
u a pour équation : 
XXi + Yy^ + ZZi + U2«i = , 
