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Or ce système comprend des surfaces algébriques et des surfaces 
transcendantes ; donc toutes les propriétés des systèmes de sur- 
faces qui ne dépendent ni de l'ordre, ni de la classe, ni du rang 
de cette surface sont applicables aux surfaces définies par l'équa- 
tion différentielle. 
Il serait aisé d'ailleurs d'intégrer cette équation ; on trouverait : 
X y z u -\- hw zz: , 
h désignant une constante. On voit que si a, p, y, § sont des 
nombres coramensurables, on aura un système de surfaces algé- 
briques. Dans le cas contraire, on aura des surfaces transcen- 
dantes. Mais, et c'est là le point sur lequel nous insistons, il n'est 
pas nécessaire d'intégrer l'équation pour déterminer les caracté- 
ristiques, et par conséquent pour énoncer immédiatement un 
grand nombre de propriétés communes à toutes les surfaces du 
système. 
Nous nous réservons de revenir plus tard sur cette relation 
remarquable qui existe entre les équations diflerentielles totales 
et les systèmes de surfaces. 
Pour terminer cette étude, nous dirons quelques mots d'une 
relation remarquable qui a été établie par M. Fouret entre les 
équations aux dérivées partielles du premier ordre et les surfaces 
qui dépendent de deux paramètres. On sait, en effet, qu'une 
équation, telle que f{œ, y, z, a, b) ^ o, dans laquelle a et b 
désignent deux paramètres arbitraires , conduit à une équation 
aux dérivées partielles du premier ordre qui exprime une pro- 
priété géométrique commune à toutes ces surfaces. Réciproque- 
ment, toute équation aux dérivées partielles du premier ordre 
peut être considérée comme représentant une famille de surfaces 
en nombre doublement infini, et on conçoit à priori que l'on 
puisse, au moyen de l'équation aux dérivées partielles proposée, 
découvrir un certain nombre de propriétés géométriques com- 
munes à toutes ces surfaces. Nous dirons, avec M. Fouret, que 
toutes ces surfaces forment un implexe. 
On démontre que les propriétés des surfaces d'un implexe 
dépendent seulement de doux caractéristiques, qui sont : 1° la 
