MEMOIRE SUR LES SYSTEMES DE SURFACES. 351 
classe du cône enveloppe des plans tangents menés en im point 
à toutes les surfaces qui passent par ce point : 2-' le lieu des points 
de contact des surfaces avec un plan donné. Soient 6 et ? ces 
deux caractéristiques. Elles s'échangent lorsque l'on transforme 
les surfaces par le principe de dualité; ce que l'on voit bien aisé- 
ment en introduisant les coordonnées homogènes dans l'espace, 
comme l'a fait M. Darboux à la fin de son beau Mémoire sur les 
Solutions singulières des équations aux détnvées partielles 
du premier ordre. 
Soit . TWi.r, + TYiiCC^ + m-iX^ -f- m^rj zr o 
l'équation du plan tangent à une surface au point x^ , Xi, X3, x^. 
On aura les équations de condition : 
midXi + m^d.T.j \ yn^dœ^ + m^d.r^ =: o , 
Xidnii + x^dmi f x^dm^ + x^dnii =: . 
Toute équation aux dérivées partielles du premier ordre de la 
forme : 
F{x, y, z, p, q, z — px — qy) — , 
deviendra, par l'introduction des notations précédentes : 
(1) <î>(^. , ^2' «^3» ^4. ^i> •w^' "^3. ^4) = , 
^ étant homogène entre les variables a?,, x.^, X3, x-, et aussi 
entre les variables m, , m^, m^, m^. 
Exemple. — Soit l'équatiou : 
h(p.x + qy — z) — Mp — ISq ^ R — , 
L, M, N, R représentant des fonctions linéaires de x, y. z. La 
substitution précédente remplacera L, M par des polynômes 
homogènes et linéaires en Xt , Xi, œ^, Xi, et px -\- qy — z, p, q 
par les rapports de trois des coefficients m,, m.,, m^. m^ au 
quatrième; de sorte que l'équation deviendra : 
L,7Wi -f- Mtm, + Nim.i + R,m3 = o , 
