352 MÉMOIRES. 
Li , Ml , ... étant, des fonctions linéaires et homogènes de rr, , 
Sous la forme (1), on voit que l'enveloppe des plans tangents à 
toutes les surfaces qui passent par un point sera un cône dont la 
classe sera égale au degré du polynôme O relativement aux 
variables trii, m^, ... et que le lieu des points de contact des 
surfaces avec un plan donné dont les coordonnées sont mi , mj, 
m^, m^ est une courbe dont le degré est égal à celui du polynôme 
<I> en Xi, œ^, ... 
Ainsi, dans l'exemple précédent, les deux caractéristiques de 
l'implexe sont égales à l'unité =r 1 , © i= 1 . 
Cela posé, nous allons montrer comment certaines propriétés 
des surfaces d'un implexe s'expriment au moyeu des caractéris- 
tiques de l'implexe. 
Théorème I. — Le lieu des points de contact des plans tan- 
gents menés par une même droite D à toutes les surfaces 
d'un impleœe (G, o) est une surface d'ordre + o, dont 
nappes passent par D. 
La droite D est multiple d'ordre 6; car si l'on considère un 
point quelconque sur D et le cône 6 passant par ce point, par la 
droite D on peut mener 6 plans tangents à ce cône ; donc D est 
multiple d'ordre 6, puisque par chaque point de D on peut mener 
par cette droite plans tangents aux surfaces. 
Considérons, en outre, un plan quelconque conduit par D; la 
courbe cp coupe D en ç points. Donc ç points isolés appartenant à 
d'autres nappes de la surface sont situés sur D. Le lieu est donc 
d'ordre 6 + ? • 
Il est aisé de démontrer ce théorème analytiquement. Soit : 
(1) «i> = , 
l'équation aux dérivées partielles ; 
(2) miXi + ^2^2 + ^3-'^3 + ^4^4 — • , 
l'équation du plan tangent au point a?, œ.^ œ^ œ^ , 
En écrivant que ce plan passe par une droite donnée ou par 
