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SUR LES SURFACES GAUCHES. 517 
de striction n'est pas une ligne géodésique, toutes les surfaces 
gauches qui répondent à la question se partagent en deux séries, 
et pour chaque série le cône directeur est le même, sauf que sa 
position est variable ; 2° si la ligne de striction, étant située dans 
un plan normal à la surface gauche, est une courbe algébrique, 
une conique par exemple, la surface est pareillement algébrique, 
et de plus, parmi les surfaces gauches algébriques, l'hyperboloïde 
de révolution à une nappe est la seule qui admette la circonfé- 
férence à la fois comme ligne de striction et comme ligne géodé- 
sique. 
1. Considérons une quelconque des surfaces cherchées, en la 
supposant rapportée à trois axes rectangulaires. Soient 
) œ — az i-p , 
^ ^ \ y-bz + q 
les équations de la génératrice rectiligne, a, ô, /?, q étant des 
fonctions d'un paramètre variable a. Si ces fonctions étaient con- 
nues, l'élimination de x entre les deux équations donnerait 
l'équation de la surface gauche. Imaginons qu'on détermine la 
ligne de plus courte distance entre la génératrice (1) et une 
génératrice infiniment voisine ; l'extrémité de cette ligne, située 
sur la première droite, est un point de la ligne de striction. Dési- 
gnons par Xq, Vq, Zq les coordonnées de ce point, qui sont des 
fonctions de a, et admettons qu'on ait trouvé la valeur de z^; 
^0 6t i/q s'en déduiront au moyen des relations 
(2) 
œ^ — az^-^p, 
y^—bz^+q. 
(3) 
Or Z(^ se détermine, comme on sait, par la formule 
r/ db ^da\ dal dqV / db , da\ , db' 
\ \ dx dx/ dx\ dxi \ dx dx) dx 
dp\ 
dx 
da- db- / db , da\~ 
on en conclut qu'on obtiendra les équations de la ligne de stric- 
tion en éliminant x entre les équations (2) et (3). 
