SUR LES SURFACES GAUCHES. 523 
Si l'on substitue l'expression de cette intégrale dans (7) , en dé- 
signant par C une constante arbitraire, on trouve 
1 
arctang ^ + C =: — arctang X H — arctang (X cos G) , 
ou, en ayant égard aux relations 
X = \Ju^ tang2 G — 1 , X cos G = V^m' sin^ G — cos^ G , 
( arctang < + C ir — arctang \/u^ tang^ G — 1 
(8) 1 / 
) H arctang \u^ sin^ G — cos* G . 
( cos G 
P 
Il ne resterait plus qu'à remplacer i par -, et w par V^a^ + 6^ ^ 
pour avoir l'intégrale de l'équation (5). Mais, au lieu de faire 
cette substitution, il vaut mieux se servir de la formule (8), en 
prenant u pour paramètre variable, ainsi que nous allons le 
montrer. 
4. Posons, pour abréger. 
— arctang \/w2tang2 G— 1 -| arctangV^w^sin^G— cos'^G— GrrU ; 
cos G 
en vertu de l'équation (8), i s'exprimera en fonction de u par la 
formule 
t zz. tang U , 
d'où 
1 t 
=: cos U , ^ z= sin U ; 
les relations a m — -== , b zz -—rr^^ deviennent donc 
Vi-\-P Vi + P 
az^u cos U , 6 rr. w sin U . 
Cherchons la valeur de g. Si, dans la formule (4), on met le 
paramètre w à la place de a, on obtient 
ô {adh — Ma) — da dp 
~ a (adb — bda) -\- db du ' 
