SUR LES SURFACES GAUCHES. 525 
familles de surfaces gauches répondant à la question. L'équation 
d'une quelconque de ces surfaces résultera de l'élimination du 
paramètre u entre les deux équations (9); mais on peut dire 
aussi que chaque surface gauche est représentée par les équa- 
tions (9) qui la définissent complètement. 
La ligne de striction , qui est la trace de la surface sur le plan 
des xy , est représentée par les équations 
x — p, 
f 
sin U V^u2 tang2 G — 1 — cos U dp 
. = :r^'^ 
cos U Vu- tang- G — l 4- sin U "^ 
qu'on obtient en faisant ^ =: o dans les équations de la généra- 
trice. 
On remarquera qu'il y a une infinité de fonctions de u qui , 
mises à la place de p dans les équations (9), permettront d'effec- 
tuer l'intégration dont dépend l'expression de y ; par exemple, 
on peut prendre pour p une puissance quelconque du multipli- 
cateur de — du = dp sous le signe j . En outre, si l'on prenait 
avec le signe — le radical contenu dans l'équation différentielle 
qui a donné l'intégrale (6) , on obtiendrait une nouvelle série de 
suriaces gauches répondant à la question et qui seraient encore 
représentées par les équations (9) où l'on remplacerait simplement 
U par — U. 
5. Déterminons le cône directeur de la surface gauche. Soit 
menée par l'origine une parallèle à une génératrice rectiligne 
quelconque; d'après les équations (9) de cette génératrice, la 
parallèle sera représentée par les équations : 
X ^z: zu cos U , 
2/ = ^w sin U , 
et, en éliminant entre elles le paramètre u, on obtiendra l'équa- 
tion du cône directeur. Cette élimination s'effectue d'ailleurs 
aisément, car on tire des deux équations précédentes 
. . X- -\- y'' — zHi- , - = tang U , 
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