132 MÉMOIRES. 
OU 
(6) X =z V + U, 
V désignant une fonction de la seule variable v ayant Y' pour 
dérivée, et U une fonction de la seule variable u. On détermi- 
nera ces fonctions par la condition que l'équation (3) soit satis- 
faite. 
Je me propose d'abord de faire voir que les équations (3) 
et (6) ne peuvent être vérifiées simultanément que si l'une des 
fonctions U ou V se réduit à une constante. 
Supposons, en effet, qu'il n'en soit pas ainsi, ou, ce qui 
revient au même, que les dérivées U' et Y' ne soient pas iden- 
tiquement nulles. Si les équations (3) et (6) étaient satisfaites à 
la fois, malgré l'hypothèse précédente, la substitution de la 
valeur (6) de X dans (3) donnerait la relation identique 
(U + V)* + (U'' + V") (U + V) — U'2 — V'2 =z 0, 
où les accents désignent les dérivées, comme d'habitude. 
Une première différentiation par rapport à u conduirait, après 
avoir divisé par U', à la nouvelle relation 
4(U + V)^ + ^' (U + V) + V" - U" =0, 
qui, différentiée à son tour par rapport à t?, donnerait 
12(U + \T+-ûr+ V = 0- 
Différentions encore alternativement par rapport à w et par 
rapport à v , ce qui fournira la double identité 
/U"'\' 1 /V'"\' 
_1 /U'" 
U 
Les deux premiers membres, dont l'un dépend seulement de 
u et l'autre seulement de v, ne peuvent être égaux que si leur 
