SUR LES SURPAGES MINIMA. 133 
valeur commune est constante. Mais dans ce cas Téquation 
fi -dessus montre que X zz U + V aurait pareillement une 
valeur constante et l'équation (3) ne serait pas vérifiée, puis- 
qu'elle se réduirait à X^=zO, auquel cas la surface ne serait 
pas réelle. 
Ainsi, l'une des quantités U' ou V doit êi;re nulle, ce qui 
signifie que X doit dépendre d'une seule des variables u ou v. 
( )ii retombe ainsi sur la solution trouvée pour le problème pré- 
dent. Donc : 
Les hélicoïdes gauches à plan directeur sont les seules sur- 
faces minima dont les lignes asymptotiques d'un système 
nient une courl)ure constante. 
Cette propriété, caractéristique d'ailleurs, a lieu pour les 
Jeux systèmes d'asymptotiques , puisque les unes sont des 
hélices et les autres des lignes droites. 
7. La détermination, qui va maintenant nous occuper, des 
surfaces minima dont les asymptotiques {v)., par exemple, sont 
(les courbes pour chacune desquelles le rapport des courbures 
est une quantité constante, n'offre pas plus de difficulté que 
celle des surfaces que l'on vient d'examiner. 
Le rapport considéré ayant pour valeur 
a _ J_ ^ _ _ ^ /1\ 
Tt, "X^-hv^ -hv VX/ ' 
1 après les formules (4) et (5), l'énoncé du problème exige que 
l'expression précédente soit indépendante de u et, par suite, 
que l'on ait 
ou 
(7) Xir ^ 
U + V 
I ' et V dépendant uniquement et respectueusement des varia- 
bles u et V. 
On pourrait déterminer les valeurs des fonctions U et V en 
