136 MÉMOIRES. 
leurs rapports, et la variable X, qui dépend de u et de i;, sont 
donc assujetties à vérifier les équations (3) et (9). 
En différentiant (9) deux fois de suite par rapport k u, on 
élimine les deux rapports - et - , qui sont indépendants de 
cette variable, et l'on parvient ainsi à l'équation du troisième 
ordre : 
Donc, le problème est ramené à trouver, si cela est possible, 
une fonction X qui vérifie à la fois les équations aux dérivées 
partielles (3) et (10). 
11. Au lieu de suivre cette marche purement analytique, 
nous préférons encore ramener le problème actuel à un autre 
dont la solution ait été déjà reconnue possible. 
Gomme dans le problème précédant, considérons la surface 
minima adjointe (A) de la surface cherchée (0). Si l'on fait 
correspondre ces deux surfaces par parallélisme des plans tan- 
gents, au réseau des asymptotiques de (0) correspond le réseau 
des lignes de courbure de (A). De plus, les deux surfaces sont 
applicables, et l'on a pour le carré de l'élément linéaire de (A) 
(10) rfs'2 = 1- {du^ + dv^) . 
Actuellement, les lignes {u) et (v) sont les lignes de courbure 
de (A) dont les éléments périmorphiques ont pour valeurs : 
(11) 
DzzO, 
P=-Q = X; 
la deuxième de ces équations résultant de ce que le réseau est 
celui des lignes de courbure et la troisième, des deux premières 
équations de Godazzi, 
