138 MÉMOIRES. 
riable v. D'ailleurs, en vertu de l'hypothèse t ^ 0, ces va- 
leurs de Y) et ç sont généralement finies, ce qui prouve que 
le point fixe par lequel passe le plan normal d'une ligne {v) 
est, en général, situé à distance finie, ou bien que cette ligne 
est véritablement sphérique et non plane. On peut donc 
énoncer la proposition suivante : 
Théorème. — Les su?^ faces minima dont les asymptotiques 
sont, pour un système, des cou7^bes génér^ales de M. Bertrand 
ont pour adjointes celles dont les lignes de courbure corres- 
pondantes sont sphériques. 
Il résulte de là que la solution du problème que nous nous 
sommes proposé est ramenée, pour le cas général, à la recher- 
che des surfaces minima à lignes de courbure sphériques, et 
inversement. 
La solution analytique de ce dernier problème ayant été 
donnée par M. Dorbriner*, qui a fait connaître, en fonction des 
paramètres des lignes de courbure, les coordonnées d'un point 
quelconque de la surface minima la plus générale à lignes de 
courbure sphériques, nous pouvons regarder notre problème 
comme possible et résolu. 
12. Cependant, avant de terminer cette étude sommaire, 
nous nous proposons de justifier l'assertion du n» 9 et de prou- 
ver qu'il n'existe point de surface minima dont les asymptoti- 
ques soient, pour les deux systèmes, des courbes générales de 
M. Bertrand, ou, ce qui revient au même, dont toutes les lignes 
de courbure soient sphériques. 
Supposons, en effet, que de telles surfaces minima existent. 
Dans l'un et l'autre cas, la fonction X vérifierait, outre l'équa- 
tion (3), savoir : 
(3) j^,LogX + j^,LogX + X* = 0, 
* Acta mathematica, t. X, pp. 145 à 152. — L'auteur démontre 
que les centres des sphères qui contiennent les lignes de courbure 
sphériques sont en ligne droite. 
