SUR LES SURFACES MINIMA. 141 
pond, d'une part, aux surfaces minima dont les asymptotiques 
sont des hélices cylindriques, et, d'autre part, à leurs adjointes 
qui sont à lignes de courbure planes (n^* 7 et 8). Ces cas parti- 
culiers doivent être écartés, puisque nous avons actuellement 
en vue les surfaces minima dont toutes les asymptotiques sont 
des courbes générales de M. Bertrand, ou dont toutes les lignes 
de courbure sont sphériques. 
14. La constante a étant ainsi différente de zéro, l'intégrale 
générale de (21) est 
(22) X = -&Tg^(^ + c), 
dans laquelle on a posé 
c désignant une nouvelle constante. 
Remplaçant x par U + V et introduisant deux nouvelles 
fonctions Ui et Vi des variables u et v respectivement, il vien- 
dra, en effaçant les indices, 
(23) X — D Tg (U + V). 
Telle est la forme la plus générale de la fonction de u et v 
qui satisfait à deux équations de la forme (15). 
Actuellement, il s'agit de voir s'il est possible de déterminer 
les fonctions U et V de manière que l'équation (3) soit vérifiée. 
15. En portant cette valeur (22) de X dans (3), on trouve la 
relation 
(U" 4- V") sin 2(U + V) — 2(U'2 + V'*) cos 2(U -f V) ) 
+ 2&2sinVU + V) i"" ' 
qui, différentiée alternativement par rapport à w et par rapport 
à 17, fournit les suivantes : 
