142 MÉMOIRES. . 
^ + 2(V''-U'0 cot2(U + V) + 4(U'2 + V'2) j _^^ 
+ 462 sin2 (U + V) \ ' 
-^ + 2(U" — V") cot 2 (U + V) + 4(U'2 + V'2) ( _ ^ 
+ 4??2 sin2 (U + V) I ~~ ' 
Ajoutons ces deux dernières, ce qui donne 
~jr + ^ + 8(U'2 + V'2) + 8^>2 sin2 (U + V) = 0. 
Différentions encore alternativement par rapport aux deux 
variables u et v^ et, après avoir de nouveau divisé par U' et V, 
comparons les résultats. On obtient ainsi la relation définitive 
^(^)+16U'' = i,(-^) +16V''==-86»sin2 
d'où nous allons déduire l'impossibilité de la supposition faite 
en commençant. 
Effectivement, les deux premiers membres, dont l'un dépend 
uniquement de u et l'autre de v^ ne peuvent être égaux que si 
leur valeur commune est constante. Il en résulterait que U -[- V, 
et, par suite, X seraient des quantités constantes, auquel cas 
l'équation (3) ne pourrait être vérifiée. Donc : 
Si l'on excepte les surfaces minima à lignes de courhuy^e 
planes ainsi que leurs adjointes, il n'existe pas de surface 
mini7na dont toutes les lignes de courbure soient sphériques 
ou dont les asymptotiques soient, pour les deux systèmes, des 
courbes générales de M. Bertrand. 
