SUR LES SIJRFACKK l)K HK\()IATU)S. 363 
3. iSupposons maintenant que, dans les é(iuations (1), ii soit 
considéré comme une fonction de 6 déterminée par Inéquation 
en coordonnées polaires de la projection d'un(; quelconque des 
lignes cherchées sur le plan des œy. On obtient par la différen- 
tiation, en regardant 6 comme une variable indépendante, et 
écrivant, pour simplifier, o, 9', ç" au lieu de ^(t*), <p'(t<), ^"{u)^ 
dx = cos rfi« — u sin 6 rfO , 
dy zn sïïi ^ du -\- u cos 8 d^ , 
dz = <^'du^ 
d^x = cos e d^u — 2 sin du d^ — u cos 8 c?8*, 
d^y — sin 8 rf% + 2 cos hdud^ — u sin 8 ^8*, 
On en déduit 
dy d^z — dz d^y 
= (sin ^ du -]- u cos 8 d^) {(f'd'^u + <f"du'^) 
(6) ( — ç't^î^ (sin 8 c^2|^ + 2 cos 8 c^^^ c?8 — t« sin 8 ^8^) 
=z cos 8 {u<f'd^u d^ + t*ç''c«t^2 ^e _ 2(^'du^ dO) 
+ sin 8 (o"du^ + î^cp'rfi^ 6^8») , 
dz d'^x — dx d^z 
zz c/du (cos 6 d'^u — 2 sin ^ du db — u cos 6 rfe^j 
(7) { — (cos Qdu — u sin 6 rf6) {(^'d^u + ^''^t^'*) 
= sin 6 (u(^'d^u db + ufdu^d^ — 2 ç'rftt» rf6) 
— cos 6 {(i^"du^ + tt?'c?t^ 6^62) , 
dx d^y — dy d'^x 
=: (cos ^ du — ^* sin 6 d^) 
X (sin 6 d^u -{- 2 cos Q du db — u sin 6 rfô^j 
— (sin ^ du -{- u cos 6 rfô) 
X (cos 6 rf^i* — 2 sin 6 dt^ rfô — ^/. cos rfô^) 
= — i^ c^2^ rfe + 2 f?t*2 c?8 + u^d^^. 
4. Cela posé, le plan osculateur de la courbe ayant pour 
équation 
(Xi — X) {dy d^z — dz d^y) + (yt — y) {dz d^x — dx d^z) 
+ (-Gj — z) {dx d^y — dy d^x) z= 0, 
(8) 
