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Or la surface de révolution est une sphère de rayon k ayant 
pour centre l'origine; car, d'après l'expression de cp(w), son 
équation est 
Yn^ — ^2 _ 
Les coefficients a, p, ^ restant indéterminés, on trouve que 
tous les plans passant par l'origine la coupent suivant des 
lignes minima ; ces lignes sont en effet des circonférences de 
grands cercles; leurs projections sur le plan des xy sont des 
ellipses représentées par l'équation 
(a2 + f)œ^ + 2a^œy + (P + f)y^ — h^ = 0. 
14. Admettons maintenant que la surface cherchée ne soit 
pas une sphère et qu'en outre la ligne minima située dans le 
plan donné ne soit point une ligne droite. On aura alors une 
courbe plane dont le plan sera partout normal à la surface, et 
l'on en conclura que cette courbe est une ligne de courbure, en 
vertu du théorème connu de Joachimsthal, c'est-à-dire que 
c'est une méridienne ou un parallèle. Cela étant, deux cas se 
présentent : ou bien le plan donné passera par l'axe des ^, ou 
bien il sera perpendiculaire à cet axe. Dans le premier cas, une 
surface de révolution quelconque satisfera à la question, puis- 
que le plan donné passant par cet axe la coupera suivant une 
ligne minima. Dans le second cas, on pourra prendre pour 
méridienne de la surface cherchée une courbc«quelconque tracée 
dans un plan passant par O^, avec la condition qu'elle ait pour 
normale la trace de ce plan sur le plan donné qu'on suppose 
perpendiculaire à 0^; car cette normale sera un rayon de 
parallèle maximum ou minimum, de sorte que ce parallèle sera 
évidemment une ligne -géodésique. 
