SUR UN SYSTÈME TRII'LK DE SURFACES. 444 
L'équation (1) peut, en effet, être mise sous la forme sui- 
vante : 
( h^p — k^n {œ^-\.y2-\-z^-{-a-\-b-[- c) 
(1 bis) I + hflib + c) 07»+ (c + a) y^-\- (a + b) 2^-^ bc + ca + ab] 
f — {bcœ^ + rat/ + abz^ + aôc) =z ; 
et on voit que cette équation est satisfaite, quel que soit A, si 
Ton fait 
bcœ^ + cay^ -f abz^ + a^>c = 0. 
4° Les surfaces (1) qui sont homofocales ne sont pas néces- 
sairement orthogonales. Il faut pour cela que la fonction /"satis- 
fasse simultanément à trois équations aux dérivées partielles 
qu'on obtient en exprimant que chacune des surfaces passant 
par un point est coupée orthogonalement par les deux autres. 
RECHERCHE DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 
Soient X, {jl, v les trois valeurs du paramètre variable qui cor- 
respondent aux trois surfaces menées par un point donné œ, 
y^ -z de l'espace ; ces trois quantités seront les racines de l'équa- 
tion (1 bis). 
On aura, par conséquent : 
f{\ + j;. + vj = ^2 _^ 1/2 4- ^2 + a + & + c, 
f\\]i. + ]iN + vX) = œ\b-\- c) + 2/2(c-f a) + z\a -f- &)-f &r + crt + ab, 
/•3 Xp =: œ'^bc + ifca + z'^ab -\- abc. 
En les différentiant relativement à x, on en tire : 
"ïœ^ ^x^ ^œ'' f f ^x' 
:^.+ v) - +(V4-X) - +(A+,.) ^ - -J, j 3^ . 
?X . , ^{i. . ., ?v 2bcx 3X|xv ^f 
"^ ^x ^x ^ ^œ p f ^x . 
