2 ~ MEMOIRES. 
1. Une courbe gauche étant rapportée à trois axes rectangu- 
Jaires, soient, en un point {x, y, z), p son rayon de courbure, 
r son rayon de torsion, Ç l'angle que fait sa tangente avec la 
partie positive de l'axe des z. C'est cet angle 'C, qui va nous 
servir de variable indépendante ; p et r seront d'abord supposés 
liés par une relation donnée quelconque, et nous admettrons, de 
plus, que p est une fonction de Z, qu'on prendra à volonté. C'est 
au moyen de ces deux données qu'il s'agit de déterminer sous 
forme inlégrable les équations de la courbe cherchée. 
2. Représentons cette courbe par 
HK, et soit M un quelconque de ses 
points. Menons par ce point trois 
droites, savoir : la tangente M'T, 
une droite MN normale à la courbe, 
et une droite MZ parallèle à la par- 
tie positive de l'axe des z. Imagi- 
nons un triangle sphérique ABC dé- 
terminé par ces trois droites et situé 
sur une sphère d'un rayon égal à l'unité, qui aurait M pour 
centre. Ce triangle donne 
cos a r= cos 6 cos c + sin & sin c cos A ; 
et puisque la droite MN est supposée perpendiculaire à MT, on a 
c zz ^ , en sorte que la formule précédente devient, en rempla- 
çant b par 'Ç ^ 
(1) cos a =z sin 'Ç cos A. 
3. Appliquons d'abord cette relation au cas où MN serait la 
normale principale, et où, par conséquent, a serait l'angle que 
fait le rayon de courbure avec l'axe des z; A serait l'angle formé 
par le plan osculateur NMT avec le plan TMZ mené par la tan- 
gente parallèlement au même axe. Désignons par s l'arc de la 
courbe compté à partir d'un point fixe et aboutissant au point 
{œ, y, z) ; on sait qu'on a cette autre expression de cos a : 
