R = 
SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. 11 
h R — R' l+p R 2 
1 — 2?2 ' R' 1 _ ^ ' R' 1 _ p 
,, .^ l+i> R-R' 
(1 — p) C — — 
1 — ^ ' R' -" 
Les expressions Ae ce et y s'offrent sous cette forme 
œz=(R-r R') cos cp + R' cos — — — cp , 
R 
R ■— R' 
2/ = (R — R') sin 9 — R' sin — — — cp , 
R 
et l'on reconnaît que la projection de la courbe sur le plan des 
xy ou sur le plan du plus grand parallèle de l'ellipsoïde de révo- 
lution qui la contient est une hypocycloïde engendrée par un 
point d'une circonférence mobile de rayon R' qui roulerait inté- 
rieurement sur une circonférence fixe de rayon R. Le cercle 
fixe n'est autre chose que le plus grand parallèle, en vertu de la 
k 
formule R =: -, et l'angle cp est l'angle que fait la ligne des 
centres des deux cercles avec l'axe des œ. Appelons à l'angle 
que fait la même ligne des centres avec le rayon du cercle 
mobile aboutissant au point générateur de l'hypocycloïde : on a 
R 2aj 
évidemment àzn —- a-zz - — — ; et, en mettant pour cp sa valeur 
R' ' i — p ' ^ ^ 
en fonction de !^, on obtient cette relation très simple àz:z2t. 
On remarquera que, si ^ m 0, on a — = 2 et y mO; l'ellip- 
soïde se change en une sphère, et la courbe devient un grand 
cercle de cette sphère. 
1 R 
Lorsque p zr - , on a —znA, et l'hypocycloïde, projection 
2 R 
222 
de la courbe sur le plan des xy, a pour équation x^ -\- y^ =:R^ , 
, 4 
R étant alors égal a.- h. 
Quelle que soit la valeur de p, si elle est commensurable, celle 
du rapport — l'est aussi, et l'hypocycloïde est une courbe algé- 
