14 MÉMOIRES. 
Posons 
tang-Ç=i., ou y^^-j__^ = t.; 
on en déduit 
cos C = T-, — ;; » sin C 
1 + t<2 ' 1 + w2 ■ 
Or on sait que les sinus et cosinus des arcs [n — m)!;', {n-\-m)l\ 
n(J peuvent s'exprimer sous forme de polynômes entiers en sin t,' 
et cos C'. Dès lors, au moyen des deux dernières formules, ils 
pourront s'exprimer aussi par des fonctions rationnelles de la 
seule variable u. Il en sera donc de même pour les coordonnées 
a), y, z, déterminées par les équations (15), en sorte que les 
courbes représentées par ces équations seront évidemment algé- 
briques pour toutes les valeurs commensurables de p. Quant à 
l'arc d'une quelconque de ces courbes, il s'exprime par un arc 
de cercle, car on a 5 = ^ arc sin - , formule où il faudrait rem- 
h 
placer z par sa valeur rationnelle en u. 
Considérons, par exemple, le cas où p est entier : n étant égal 
à 1, il vient 
C'=iC, {n — m)V — {i — 'm)-(,, (n + m) £;'=(l-|-m) ^. 
On a d'ailleurs 
z 1 f 
^ =: — /i sin Ç , d'où sin ^ n: — -- , cos C = r F ft^ — z'^ . 
ni n> 
Si l'on remplace, dans les équations (15), les sinus et cosinus des 
arcs (1 — m)'(,, {i -{- m)'C, par des polynômes entiers en sin l, 
cos "(,, puis ces deux dernières quantités par leurs valeurs en z , 
on voit que x et y deviendront des fonctions algébriques de la 
quantité z, laquelle servira de variable indépendante; de plus, 
l'arc s se trouvera exprimé en fonction de cette variable par 
z 
l'arc de cercle h arc sin t • 
h 
