THÉORIE DES COURBES GAUCHES. 243 
qui, par la substitution indiquée, devient 
en négligeant les infiniments petits d'ordre supérieur au premier. 
Il reste à exprimer que la droite OY est contenue dans le plan 
osculateur à (Oi) en Oi, plan qui est perpendiculaire à la droite 
polaire représentée par les équations (2) et (4). Ceci exige que 
l'équation (4) ne contienne que Y, et, par suite, que l'on ait 
^ • Tg g _ ^ 
ds - ' 
ou 
(5) Tg a z= constante. 
Remplaçant Tg a par sa valeur (1), il vient la condition 
,„. sin a , cos a sin a 
où a désigne un angle arbitraire mais constant. On peut donc 
dire avec M. Bertrand : 
1» Si une courbe (0) est telle que ses normales principales 
soient les normales principales d'une autre courbe (Oj), il existe 
entre ses courbures une relation linéaire de la forme 
(7) ^ + 5 = 0, 
Ç T ; _ 
A, B, C désignant des constantes. 
1 1 
20 Réciproquement, s'il existe entre les courbures - et - d'une 
ç -^ 
courbe (0) une relation linéaire telle que (7), cette courbe est 
telle que ses normales principales sont aussi normales principales 
d'une seconde courbe (OJ, dite conjuguée de la première, et qui 
s'obtient en portant sur les normales principales de (0), à partir 
de leurs pieds O, des longueurs h données par la formule 
(8). A=|. , ■.■:,, : -. 
