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De plus, comme l'a démontré M. Bonnet, les plans osculateurs 
des deux courbes conjuguées (O) et (Oi) aux points correspon- 
dants (0 et Oi) font entre eux un angle constant a donné par la 
relation 
(Ô) Tga=:|. 
Ces conclusions se déduisent de l'identification des équations (6) 
et (7). 
13. La recherche des courbes de M. Bertrand est donc rame- 
née à celle des courbes dont les courbures vérifient la relation (7). 
On sait d'avance (voir 1" partie, n° 8) que le problème est pos- 
sible et admet une infinité de solutions dépendant d'une fonction 
arbitraire. Avant de chercher les équations de ces courbes dans 
un système d'axes fixes, nous allons étudier quelques-unes de 
leurs propriétés, et, pour commencer, celles qui résultent de la 
comparaison des courbes conjuguées (0) et (Oj). 
14. Proposons-nous de calculer l'élément d'arc dSt de (0,), 
ainsi que les rayons de courbure et de torsion Çj et ti de cette 
courbe. 
L'élément d'arc c?5, est parallèle au plan des œz du trièdre 
instantané et fait avec OX l'angle a. Donc 
A7 h 
(10) dSt — -. — ——^ds, 
sin a T sm a 
AZ désignant la projection, déjà calculée (n» 12), du déplacement 
de Oi sur l'axe Oz. 
Concevons qu'un second trièdre instantané soit lié à la courbe 
(Oj) comme le premier l'est à (0). Les axes OY seront communs 
à ces deux trièdres et nous supposerons que leurs parties posi- 
tives soient dirigées dans le même sens. Les plans des XZ sont 
parallèles et les parties positives OX et OiXj font entre elles 
l'angle constant a. 
De plus, les deux courbes étant réciproques, on passera évi- 
