THÉORIE DES COURBES GAUCHES. 249 
droite polaire de (K) et (Kp) est donc parallèle à la droite de la 
développable de Lancret relative à (0) en 0, de telle sorte que 
si l'on désigne par p, l'angle formé par GK avec droite polaire 
GL, laquelle passe d'ailleurs par le centre G de la sphère, cet 
angle est celui que nous avons considéré au n" 6 sous le nom de 
[t.; d'où 
(17) . Tgi.=:^. 
Les rayons de courbure r et r^ des courbes sphériques (K) et 
(Kp) étant les distances des points K et K^ à la droite polaire GL, 
on a, entre ces rayons et les éléments d'arc da, de?, les relations 
(18) 
r =z a sin jx, 
rp = « sin (p. — 3) , 
ra , sin (a — S) 
ds& — — d::— — ^-i- — . da. 
r sin [;, 
Les formules (15), (16), (17) et (18) conviennent à des courbes 
quelconques. 
17. Cherchons maintenant la condition pour que parmi les 
courbes parallèles à l'indicatrice sphérique d'une courbe (0) 
l'une d'elles soit égale en arc à la courbe proposée. Il faut et il 
suffît pour cela que l'on puisse déterminer la constante (â de façon 
que l'égalité 
/cos S sin S\ 
ait lieu pour tous les points de la courbe (0), c'est-à-dire que 
celle-ci soit une courbe de M. Bertrand. 
Inversement, si l'on donne une pareille courbe définie par la 
relation (6), cette courbe sera égale en arc à la courbe parallèle 
à son indicatrice sphérique, celle-ci étant tracée sur une sphère 
dont le rayon est 
(19) a = -4-, 
sin a 
la courbe parallèle étant définie par l'angle constant 
