THÉORIE DES COURBES GAUCHES. 253 
l'autre à torsion constante ayant pour indicatrice la courbe 
sphérique proposée, montre que 
a? = X' cos a + X sin a , i 
2/ = Y' cos a + Y sin a , 
z znZ' cos a + Z sin a. 
Ces relations permettent, comme l'a établi M. Bioche, de cons- 
truire très simplement la courbe la plus générale de M. Bertrand, 
ayant une indicatrice donnée, quand on connaît les courbes à 
courbure et à torsion constante qui font partie de la même 
famille*. 
La démonstration de la réciproque n'offrirait pas- plus de diffi- 
culté. 
18. Reprenons la courbe (0) et la courbe sphérique K/ ^ 
parallèle à son image sphérique, dont l'élément d'arc est égal à 
l'élément d'arc de (0) et perpendiculaire à celui-ci. Considérons 
la développable (D) , dont (0) est l'arête de rebroussement, et la 
développable A enveloppe, des plans menés par les tangentes de 
la courbe /K „\ parallèlement aux plans osculateurs de (0). 
Cette développable A est visiblement circonscrite à une sphère 
concentrique à celle qui contient la courbe sphérique, la dis- 
tance de l'un quelconque de ses plans tangents au centre G étant 
égale à a sin %-^zh , puisque tous ces plans coupent la sphère 
sous l'angle constant a. Soit, de plus, 2 l'arête de retroussement 
de A . Appliquons sur un plan les deux développables D et A en 
conservant, ce qui est possible, le parallélisme des génératrices 
correspondantes. La développable D fournira une courbe (o) 
transformée de (0) , avec le système de ses tangentes. La déve- 
loppable A fournira pareillement une courbe (a) transformée de 2, 
le système des tangentes de (a) parallèles aux tangentes de (o) 
* M. Goursat était, de son côté, parvenu aux mêmes formules par 
d'autres considérations. Voir son mémoire Sur un problème relatif 
aux courbes à double courbure. {Annales de la Faculté des sciences 
de Toulouse, année 1887.) 
